Если \( A(x; y; z) \) \(- \) произвольная точка плоскости, \( \vec{n}(a; b; c) \) \(-\) \(\textbf{вектор нормали}\) (вектор, перпендикулярный плоскости), то уравнение плоскости имеет вид:
\[ ax + by + cz + d = 0,\] где \(d\) \(- \) какое-то фиксированное число, зависящее от плоскости.
Важно: \(a^2 + b^2 + c^2 \neq 0,\) так как вектор нормали ненулевой.

Доказательство

Пусть \( A_0(x_0; y_0; z_0) \) \(-\) какая-нибудь точка плоскости и \( \vec{n}(a; b; c) \) вектор, перпендикулярный плоскости, с основанием в точке \(A_0\). Пусть \( A(x; y; z) \) \(- \) произвольная точка плоскости. Векторы \( \overrightarrow{A_0A} \) и \( \vec{n} \) перпендикулярны. Поэтому их скалярное произведение равно нулю (см. \(\href{https://examp.info/theorem/svojstva-skalyarnogo-proizvedeniya/}{\text{свойства скалярного произведения}}\)). И так как координаты вектора \( \overrightarrow{A_0A} \) равны (\( x - x_0 \), \( y - y_0 \), \( z - z_0 \)), то \( a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \). Получаем:
\[ ax + by + cz + d = 0,\] где \(d = -(ax_0 + by_0 + cz_0).\)
Обратно, если точка \( A(x; y; z) \) удовлетворяет этому уравнению, то \( \overrightarrow{A_0A} \cdot \vec{n} = 0 \). Значит, точка \( A \) лежит в плоскости. Таким образом, выведенное уравнение есть уравнение плоскости.

Заметим, что коэффициенты \( a, b, c \) в уравнении плоскости \( ax + by + cz + d = 0 \) являются координатами вектора нормали.