1. Для любой \(\href{https://examp.info/onedef/arifmeticheskaya-progressiya/}{\text{арифметической прогрессии}}\) её \(\mathbf{n-}\)й член \(\mathbf{a_n}\) выражается через ее первый член \(\mathbf{a_1}\) и разность этой прогрессии \(\mathbf{d}\) при помощи формулы \(\mathbf{a_n = a_1 + (n - 1)d,}\) называемой формулой \(\mathbf{n-}\)го члена арифметической прогрессии.

2. Любой член арифметической прогрессии, кроме первого, есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов.

\[ \mathbf{a_n = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2},}\] где \(n =2, 3, \ldots\)

3. Сумма первых \(\mathbf{n}\) членов арифметической прогрессии \(\mathbf{a_n}\) равна произведению полусуммы первого и \(n-\)го ее членов на число слагаемых (\(n\)), то есть справедлива формула

\[ \mathbf{S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.}\]

Доказательство

\(\textbf{Доказательство 1:}\)
В самом деле, \[ a_1 = a_1 + 0 \cdot d,
\] \[
a_2 = a_1 + d, \] \[
a_3 = a_2 + d = (a_1 + d) + d = a_1 + 2d, \] \[
\ldots \] На \((n - 1)-\)м этапе этих рассуждений получим, что \[
a_n = a_1 + (n - 1)d.\]

\(\textbf{Доказательство 2:}\)
В самом деле, \(a_{n - 1} = a_n - d\), \(a_{n + 1} = a_n + d\), тогда \[
\frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2} = \frac{a_n - d + a_n + d}{2} = a_n\]

\(\textbf{Доказательство 3:}\)
Действительно, \[ 2S_n = S_n + S_n = (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) + (a_n + a_{n - 1} + \ldots + a_1) =\] \[
= (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n - 1}) + \ldots + (a_n + a_1).\] Поскольку \(a_2 + a_{n - 1} = a_1 + d + a_n - d = a_1 + a_n,\)
\(a_3 + a_{n - 2} = a_1 + 2d + a_n - 2d = a_1 + a_n\)
и т. д., то получаем \(2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n.\), а отсюда нужную формулу.
Если заменим \(a_n\) на \(a_1 + (n - 1)d\), то получим другую запись: \[
S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n.\]