Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна \(180^{\circ} \cdot(n-2)\).

Доказательство

Обозначим вершины выпуклого многоугольника через \(A_1, \ldots, A_n\). Проведём все возможные диагонали нашего многоугольника, проходящие через точку \(A_1\). Таких диагоналей столько же, сколько и не соседних с \(A_1\) вершин, а именно, \(n-3\), поскольку диагоналями можно соединить \(A_1\) со всеми оставшимися вершинами, кроме соседних вершин \(A_2, A_n\) и самой вершины \(A_1\). Эти \(n-3\) диагонали разбивают многоугольник на \(n-2\) треугольника (здесь мы пользуемся выпуклостью, поскольку все диагонали будут лежать внутри многоугольника). Остаётся заметить, что сумма углов многоугольника складывается из суммы углов всех этих треугольников.
Поскольку сумма углов каждого треугольника равна \(180^{\circ}\), а их \(n-2\), то сумма углов многоугольника равна \(180^{\circ} \cdot(n-2)\).

Что и требовалось доказать.