Сумма \(n\) членов \( \href{https://examp.info/onedef/geometricheskaya-progressiya/}{\text{геометрической прогресии}}\) при \(q \neq 1\) вычисляется по формуле:
\[
S_{n}=\dfrac{b_{1}(1−q^{n})}{1−q}.
\]

Доказательство

Рассмотрим суммy первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \neq 1\):\[
S_{n}=b_1+b_1q+\ldots+b_1q^{n−1}.
\]Домножим левую и правую часть на \((1-q)\), и в правой части раскроем скобки:
\[
S_{n}(1-q)=(b_1+b_1⋅q+\ldots+b_1⋅q^{n−1})(1-q)\quad\Leftrightarrow
\]\[
\Leftrightarrow \quad S_{n}(1-q)=b_1+b_1q+\ldots+b_1⋅q^{n−1}-b_1q-b_1q^2-\ldots-b_1q^{n}.
\]Заметим, что все слагаемые (кроме первого и последнего) сокращаются:
\[
S_{n}(1-q)=b_1(1-q^{n})\quad\Leftrightarrow
\]\[
\Leftrightarrow \quad S_{n}=\dfrac{b_1(1-q^{n})}{1-q}.
\]