Пусть функции \(f(x)\) и \(g(x)\) непрерывны на отрезке \([a, b]\) и имеют производные на интервале \((a, b)\), одновременно не обращающиеся в ноль. При этом \(g(b)-g(a)\neq 0\) (что следует из условия \(g'(x) \neq 0\)). Тогда на интервале \((a, b)\) найдётся точка \(c\), для которой выполняется неравенство
\begin{equation*}
\frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)}= \frac{f'(c)}{g'(c)}
\end{equation*}
причём \(a<c<b\).

Доказательство

Вводим функцию \(H(x)=(f(b)-f(a))\cdot g(x)-(g(b)-g(a))\cdot f(x)\). Очевидно, что она непрерывна на \([a,b]\) и имеет производную на \((a,b)\), т.к. \(f(b)-f(a)\) и \(g(b)-g(a)\) постоянны. Кроме того, \(H(a)=H(b)\), поэтому по \(\href{https://examp.info/theorem/rollya/}{\text{теореме Ролля}}\) найдется такая точка \(c\) из \((a, b)\), что \(H'(c)=0\).
\begin{gather*}
H'(c)=(f(b)-f(a))\cdot g'(c) - (g(b)-g(a))\cdot f'(c) \\
\Rightarrow (f(b)-f(a))\cdot g'(c) = (g(b)-g(a))\cdot f'(c) \\
\Rightarrow \frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)}= \frac{f'(c)}{g'(c)}
\end{gather*}
Теорема доказана.