Пусть \( \{u_k\} \) и \( \{v_k\} \) — две произвольные последовательности, \( S_k = u_1 + u_2 + \dots + u_k \), и \( n, p \) — два натуральных числа (\( n \geqslant 0, S_0 = 0 \)). Тогда справедливо тождество

\[
\sum_{k=n+1}^{n+p} u_k v_k = \sum_{k=n+1}^{n+p-1} S_k (v_k - v_{k+1}) + S_{n+p} v_{n+p} - S_n v_{n+1},\tag{1}
\]

называемое \(\textbf{преобразованием Абеля}\).

Доказательство

Так как для любого \( k \geqslant 1 \) справедливо равенство \( u_k = S_k - S_{k-1} \), то левой части (1) можно придать вид

\[
\sum_{k=n+1}^{n+p} u_k v_k = \sum_{k=n+1}^{n+p} S_k v_k - \sum_{k=n+1}^{n+p} S_{k-1} v_k. \tag{2}
\]

В последней сумме правой части (2) заменим индекс суммирования \( k \) на \( k+1 \). В результате получим

\[
\sum_{k=n+1}^{n+p} u_k v_k = \sum_{k=n+1}^{n+p} S_k v_k - \sum_{k=n}^{n+p-1} S_k v_{k+1} = \sum_{k=n+1}^{n+p-1} S_k (v_k - v_{k+1}) + S_{n+p} v_{n+p} - S_n v_{n+1}.
\]

Таким образом, тождество Абеля (1) доказано.