Пусть дано \(\href{https://examp.info/theorem/uravnenie-ploskosti/}{\text{уравнение плоскости}}\) \(\alpha\): \(Ax + By + Cz + D = 0\), и \( A \neq 0, B \neq 0, C \neq 0, D \neq 0 \). Тогда плоскость не проходит через начало координат и не параллельна ни одной из координатных осей, значит, она пересекает каждую из них. Пусть \(\alpha\) пересекает координатные оси \(Ox\), \(Oy\) и \(Oz\) в точках \((a; 0; 0)\), \((0; b; 0)\) и \((0; 0; c)\) соответственно (заметим, что числа \(a, b, c\) могут быть как положительными, так и отрицательными). Тогда уравнение плоскости может быть представлено в следующем виде:
\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.\]

Доказательство

Найдем точки пересечения этой плоскости с координатными осями.

Для определения точки ее пересечения с осью \(Ox\) преобразуем уравнение \(Ax + By + Cz + D = 0\) к виду
\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1,\] где \(a = -\dfrac{D}{A}, b = -\dfrac{D}{B}, c = -\dfrac{D}{C}\). Тогда, решая систему уравнений
\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1, \quad y = 0, \quad z = 0,\] получим: плоскость \(\alpha\) пересекает ось \(Ox\) в точке с координатами \(x = a, y = 0, z = 0\), то есть в точке \((a; 0; 0)\).

Аналогично рассуждая, получим: плоскость \(\alpha\) пересекает координатные оси \(Oy\) и \(Oz\) соответственно в точках \((0; b; 0)\) и \((0; 0; c)\).

Сравнивая числа \(a, b\) и \(c\) в уравнении плоскости \(\alpha\) и координаты точек ее пересечения с координатными осями, приходим к выводу: числа \(|a|, |b|\) и \(|c|\) равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на осях \(Ox, Oy\) и \(Oz\) соответственно. Поэтому данное уравнение называется \(\textbf{уравнением плоскости «в отрезках»}\). Этим уравнением часто пользуются при изображении плоскости относительно системы координат.