\(\textit{Локальные свойства (то есть свойства в точке):}\)

1. если \(f(x)\), \(g(x)\) - непрерывны в точке \(x=x_0\), то и \(f(x)\pm g(x)\) также непрерывны в точке \(x_0\).

2. \(f(x)\cdot g(x)\).

3. \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\).

Доказательство

По условию \(\exists \underset{x\rightarrow{x_0}}{\lim}f(x)=f(x_0)\) и \(\exists \underset{x\rightarrow{x_0}}{\lim}g(x)=g(x_0)\), тогда \(\underset{x\rightarrow{x_0}}{\lim}(f(x)\pm g(x))= \underset{x\rightarrow{x_0}}{\lim}f(x)\pm \underset{x\rightarrow{x_0}}{\lim}g(x)=f(x_0)\pm g(x_0)\), что и доказывает непрерывность \(f(x)\pm g(x)\).

Аналогично для \(f(x)\cdot g(x)\).

Аналогично для \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\), но с условием, что \(g(x)\ne 0\)).