В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа рёбер на \(2\).

Доказательство

Рассмотрим произвольный выпуклый многогранник, имеющий \( e \) вершин, \( f \) граней и \( h \) рёбер. Докажем, что \( f + e - h = 2 \).

Выберем произвольную грань \( G \), отметим какую-нибудь точку \( M \) её внутренней области и проведём из неё луч \( h \), перпендикулярный к плоскости этой грани и лежащий по ту сторону от неё, по которую нет точек многогранника. Если плоскости каких-либо других граней пересекают луч \( h \), то выберем на нём точку \( O \), лежащую между \( M \) и ближайшей к \( M \) точкой пересечения; в противном случае возьмём в качестве точки \( O \) произвольную точку луча \( h \). Тогда точка \( O \) окажется лежащей по ту же сторону от плоскости каждой грани многогранника, отличной от \( G \), что и сам многогранник.

Удалим теперь грань \( G \). В результате получим многогранную поверхность \( F \), имеющую те же рёбра и вершины, что и исходный многогранник, число граней которой равно \( f - 1 \). Любой луч с началом \( O \) пересекает поверхность \( F \) не более чем в одной точке (поскольку после пересечения лучом поверхности \( F \) он «уходит» в то полупространство, в котором точек поверхности \( F \) нет). Примем точку \( O \) за центр проектирования и рассмотрим центральную проекцию поверхности \( F \) на плоскость грани \( G \). Она представляет собой грань \( G \), составленную из \( f - 1 \) выпуклых многоугольников — проекций остальных граней (докажите, что эти многоугольники — выпуклые). Число вершин этих многоугольников равно \( e \), а число сторон равно \( h \). Если провести диагональ какого-нибудь из них, то число вершин не изменится, число многоугольников увеличится на 1, число сторон также увеличится на 1, поэтому разность числа многоугольников и числа сторон не изменится. Следовательно, если каждый многоугольник разделить диагоналями на треугольники, то грань \( G \) окажется разделённой на \( f' \) треугольников с \( e' \) вершинами и \( h' \) сторонами, причём

\[ f' + e' - h' = (f - 1) + e - h. \]

Пусть \( n \) — число сторон грани \( G \). Каждый из треугольников имеет три стороны, поэтому число \( h' \) меньше числа \( 3f' \) на число сторон, каждая из которых принадлежит одновременно двум треугольникам, т. е. на \( h' - n \):

\[ h' = 3f' - (h' - n). \]

Отсюда получаем:

\[ n = 2h' - 3f'. \]

Сумма углов всех треугольников, с одной стороны, равна \( f' \cdot 180^\circ \), с другой — сумме углов \( n \)-угольника \( G \) плюс \( 360^\circ \), умноженных на число \( e' - n \) вершин, лежащих внутри \( G \):

\[ f' \cdot 180^\circ = (n - 2) \cdot 180^\circ + 360^\circ \cdot (e' - n). \]

Отсюда находим

\[ f' = 2e' - n - 2 = 2e' - (2h' - 3f') - 2, \]

т. е.

\[ f' + e' - h' = 1. \]

Но

\[ f' + e' - h' = (f - 1) + e - h. \]

Следовательно,

\[ f + e - h = 2. \]

Теорема доказана.