\(\textbf{Свойства сравнений}\)

Пусть \(m\geqslant 2\), тогда справедливы следующие утверждения:

(1) cравнение по модулю \(m\) является отношением эквивалентности (симметрично, рефлексивно и транзитивно);

(2) если \(a\equiv b\pmod m,\) чило \(d\) является делителем \(m,\) то \(a\equiv b \pmod d;\)

(3) если \(a\equiv b\pmod{ m_i},\) \(i=1,\ldots,k,\) то \(a\equiv b \pmod{ \text{НОК} (m_1,m_2, \ldots m_k)}.\)

\(\textbf{Операции над сравнениями}\)

Пусть \(a_i\equiv b_i \pmod m,\) \(i=1,\ldots,k,\) \(c\neq 0\) - произвольное целое число. Тогда

(1) \(a_1+\ldots+a_k\equiv b_1+\ldots+b_k \pmod m;\)

(2) \(a_1\cdot\ldots\cdot a_k\equiv b_1\cdot\ldots\cdot b_k \pmod m;\)

(3) \(a\equiv b\pmod m \Rightarrow a+c\equiv b+c \pmod m;\)

(4) \(a\equiv b+c\pmod m \Rightarrow a-c\equiv b\pmod m;\)

(5) если \(k\) - натуральное число и \(a\equiv b\pmod m,\) то \(a^k\equiv b^k\pmod m;\)

(6) если \(t_1\equiv 0\pmod m,\) \(t_2\equiv 0\pmod m\) и \(a\equiv b\pmod m,\) то \(a+t_1\equiv b+t_2\pmod m;\)

(7) если \(a\equiv b\pmod m,\) то \(ac\equiv bc\pmod m;\)

(8) если \(ad\equiv bd\pmod {md},\) \(d\) - натуральное число, то \(a\equiv b\pmod m;\)

(9) если \(ad\equiv bd \pmod m,\) \(d\) - натуральное число и \(\text{НОД(m,d)=1},\) то \(a\equiv b\pmod m.\)

\(\textbf{Замечание.}\)(к пункту (9)) В общем случае сравнения нельзя делить на число. Например, \[
14\equiv 20 \pmod 6, \text{но} \quad 7\not\equiv 10 \pmod 6.
\]

\(\href{https://examp.info/onedef/sravneniya/}{\text{Определение.}}\)

Доказательство

\(\textbf{Свойства сравнений}\)

(1)-(3) вытекают из определения сравнения по модулю \(m.\) Напомним лишь что обозначент отношение эквивалентности.
симметричность: \(a\equiv a\pmod m\)
рефлексивность: \(a\equiv b\pmod m \Rightarrow b\equiv a\pmod m\)
транзитивность: \(a\equiv b\pmod m\) и \(b\equiv c\pmod m \Rightarrow a\equiv c\pmod m\)

\(\textbf{Операции над сравнениями}\)

Для доказательства (1)-(7) достаточно заметить, что при сложении двух чисел остатки от деления на \(m\) скаладываются, а при умножении - умножаются. Докажем лишь (8) и (9).

(8) \begin{gather*}
ad\equiv bd\pmod {md} \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
ad=mdq_1+r\\
bd=mdq_2+r
\end{array}\right. \Rightarrow
ad-bd=md(q_1-q_2)
\Leftrightarrow \\ \\
a-b=m(q_1-q_2) \Leftrightarrow a-b \equiv 0 \pmod m \Leftrightarrow a\equiv b \pmod m
\end{gather*}

(9) \begin{gather*}
ad\equiv bd\pmod {m} \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
ad=mq_1+r\\
bd=mq_2+r
\end{array}\right. \Rightarrow
ad-bd=m(q_1-q_2)
\end{gather*}
Заметим, что правая часть последнего равенства делится на \(d,\) значит и левая часть делится на \(d.\) Но \(m\) и \(d\) взаимно просты, значит \(q_1-q_2\) делится на \(d.\) Пусть \(\frac{q_1-q_2}{d}=c\) - целое число, тогда \[
ad-bd=m(q_1-q_20 \Leftrightarrow a-b=mc\Leftrightarrow\]\[ a-b\equiv 0\pmod m \Leftrightarrow a\equiv b \pmod m.
\]