\(\textbf{Теорема косинусов}\) Пусть дан треугольник \(\triangle ABC.\) Положим \(AB=c,\) \( BC=a,\) \( CA=b.\) Обозначим угол между векторами \( \overrightarrow{ AB},\) \( \overrightarrow {AC}\) через \(\phi.\) Тогда имеет место равенство
\[
a^2=b^2+c^2-2bc\cos\phi.
\]
\(\textbf{Замечание}\) Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора. Действительно, если угол между векторами \(\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}\) равен \(\frac{\pi}{2},\) то равентво можно переписать в виде
\[
a^2=b^2+c^2.
\]

Доказательство

Имеем \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\) или \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow {AC}-\overrightarrow{AB}.\) Скалярно перемножим вектора \[
(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC})-2(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}).
\]И заметим, что \((\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})=bc\cos\phi.\)