Ряд \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\) сходится тогда и только тогда, когда для любого \(\varepsilon > 0\) существует такой номер \(N\),

что для всех \(m > n > N\) выполняется \(\left| a_{n+1} + a_{n+2} + \ldots + a_m \right| < \varepsilon\).

Доказательство

Для доказательства критерия Коши, предположим, что ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) сходится к сумме \(S\). Это означает, что существует конечный предел частичных сумм:
\[ \displaystyle\lim_{{m \to \infty}} (a_1 + a_2 + \ldots + a_m) = S. \]

Теперь воспользуемся критерием Коши. По определению, для любого \(\varepsilon > 0\) существует номер \(N\), такой, что для всех \(m > n > N\) выполняется:
\[ |a_{n+1} + a_{n+2} + \ldots + a_m| < \varepsilon. \]

Рассмотрим две частичные суммы \(S_n\) и \(S_m\) для любых \(m > n > N\):
\[ S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n \]
\[ S_m = a_1 + a_2 + \ldots + a_n + a_{n+1} + a_{n+2} + \ldots + a_m \]

Тогда разность между \(S_m\) и \(S_n\) равна:
\[ S_m - S_n = a_{n+1} + a_{n+2} + \ldots + a_m \]

Поскольку предел частичных сумм равен \(S\), то при \(m, n \to \infty\)

разность \(S_m - S_n\) стремится к нулю:
\[ \lim_{{m,n \to \infty}} (S_m - S_n) = \lim_{{m \to \infty}} (a_{n+1} + a_{n+2} + \ldots + a_m) = 0. \]

Таким образом, мы показали, что для сходящегося ряда выполнено условие Коши, и разность частичных сумм стремится к нулю при увеличении номеров членов ряда.

\( \newline \)
\(\textbf{Пример 1:}\) Используя критерий Коши, докажем сходимость ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{3^n}.\)

Критерий Коши утверждает, что ряд \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)
сходится, если для любого \(\varepsilon > 0\) существует номер\(N\), такой, что для всех \(m > n > N\) выполняется
\[
\left| a_{n+1} + a_{n+2} + \ldots + a_m \right| < \varepsilon.
\]

У нас есть ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{3^n}.\)
Давайте рассмотрим его частичные суммы:
\[
\sum_{k=m}^{n} \left| \frac{\cos k}{3^k} \right| = \left| \frac{\cos m}{3^m} \right| + \left| \frac{\cos (m+1)}{3^{m+1}} \right| + \dots + \left| \frac{\cos n}{3^n} \right|.
\]

Теперь мы можем оценить эту сумму сверху:
\[
\sum_{k=m}^{n} \left| \frac{\cos k}{3^k} \right| \le \frac{1}{3^m} + \frac{1}{3^{m+1}} + \dots + \frac{1}{3^n} \\
= \frac{\frac{1}{3^m} \left( 1 - \frac{1}{3^{n-m+1}} \right)}{1 - \frac{1}{3}} \\
= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^m} \left( 1 - \frac{1}{3^{n-m+1}} \right).
\]

Таким образом, мы нашли оценку сверху для суммы членов ряда, и эта оценка убывает с ростом \(m\). Теперь, для произвольного \(\varepsilon > 0\), мы можем выбрать достаточно большое \(N\), чтобы гарантировать, что оценка меньше \(\varepsilon\) для всех \(m > n > N\).

По критерию Коши ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{3^n}\) сходится.