Пусть дан ряд \(\sum\limits_{n=1}^\infty{a_{n}}\), где \(a_{n} \in \mathbb{R}\). Если ряд из модулей сходится, то и исходный ряд сходится.

Доказательство

Ряд \( \sum\limits_{n=1}^\infty{|a_{n}|}\) по условию сходится, значит для него выполняется \(\href{https://examp.info/theorem/kriterij-koshi-shodimosti-ryadov/}{\text{критерий Коши сходимости рядов:}}\)
\[ \forall \epsilon > 0, \exists n_{0} \in \mathbb{N}, \forall n_{1}, n_{2} > n_{0} \quad \left||a_{n_{1}}| + |a_{n_{1}+1}| + \ldots + |a_{n_{2}}| \right| < \epsilon\] \[ \left|a_{n_{1}} + a_{n_{1}+1} + \ldots + a_{n_{2}} \right| \leqslant |a_{n_{1}}| + |a_{n_{1}+1}| + \ldots + |a_{n_{2}}| < \epsilon, \]

Следовательно для исходного ряда выполняется \(\href{https://examp.info/theorem/kriterij-koshi-shodimosti-ryadov/}{\text{критерий Коши сходимости рядов}}\), значит он сходится.

Если ряд из модулей расходится, то ряд может как сходится, так и расходится:

\( \sum\limits_{n=1}^\infty{ \dfrac{(-1)^{n}}{n} }\) \(-\) сходится условно по \(\href{https://examp.info/theorem/priznak-lejbnica/}{\text{признаку Лейбница}}\).

\( \sum\limits_{n=1}^\infty{ (-1)^{n} }\) \(-\) расходится по \(\href{https://examp.info/theorem/neobhodimyj-priznak-shodimosti-ryada/}{\text{необходимому признаку сходимости ряда}}\).

\(\textbf{Замечание.}\) Признаки Даламбера, Коши можно применять также для знакопеременных, комплексных, векторных рядов.