Пусть даны две непересекающиеся прямые \(l_1\) и \(l_2\) в пространстве. Точка \(A_1\) лежит на прямой \(l_1\), точка \(A_2\) на прямой \(l_2\). Вектор \(\overrightarrow {a_1}\) — направляющий вектор прямой \(l_1\), \(\overrightarrow {a_2}\) — прямой \(l_2\). Тогда расстояние между прямыми можно найти по формуле\[
p(l_1,l_2)=\dfrac{|([\overrightarrow a_1,\overrightarrow a_2],\overrightarrow{A_1A_2})|}{|[\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}]|}.
\]Где \((\cdot,\cdot)\) — \(\href{https://examp.info/onedef/skalyarnoe-proizvedenie/}{\text{скалярное произведение}}\) векторов, \([\cdot,\cdot]\) — векторное произведение векторов. Выражение вида \(([\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}],\overrightarrow{A_1A_2})\) еще называют смешанным произведением векторов.

Доказательство

Построим параллелограмм на трех векторах \(\overrightarrow a_1\), \(\overrightarrow{a_2}\) и \(\overrightarrow {A_1A_2}\), как показано на рисунке. Заметим, что расстояние между прямыми совпадает с высотой параллелограмма. Выразим объем параллелограмма \(V\) через высоту \(h\) и площадь основания \(S=S(A_2B_2C_2D_2)\). Получим \(V=Sh\). По свойству смешанного произведения объем можно найти по формуле\[
V=|([\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}],\overrightarrow{A_1A_2})|.
\]По свойству векторного произведения площадь можно найти по формуле\[
S=|[\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}]|\]
Откуда и получаем требуемое.
\(\textbf{Пример}\) \( \href{https://examp.info/task/991/}{\text{ДВИ Вариант 234 № 7}}\)