Пусть \(p\) - полупериметр треугольника, \(S\) - его площадь, \(a,b,c\) - длины сторон. Тогда справедлива \(\textit{формула Герона}\) \[
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.
\]

Доказательство

Воспользуемся \(\href{}{\text{формулой площади треугольника}}\) и \(\href{https://examp.info/theorem/cosinusov/}{\text{теоремой косинусов}}\) \[
S=\frac{1}{2} ab\sin C, \quad c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.
\] Выразим косинус угла из последней формулы \[
\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.
\] Любой угол треугольника больше \(0^\circ\) и меньше \(180^\circ,\) тогда синус угла строго больше нуля и верна формула \begin{gather*}
\sin C=\sqrt{1-\cos ^2 C}=\sqrt{(1-\cos C)(1+\cos C)}.
\end{gather*} С другой стороны \begin{gather*}
1-\cos C=1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{c^2-(a-b)^2}{2ab}=\\ \frac{(c-a+b)(c-b+a)}{2ab}=\frac{2(p-a)(p-b)}{ab}, \\
1+\cos C=1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab}=\\ \frac{(a+b-c)(c+a+b)}{2ab}=\frac{2p(p-c)}{ab}.
\end{gather*} Получаем формулу для площади \begin{gather*}
S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2} ab \sqrt{\frac{2p(p-c)}{ab}\cdot\frac{(p-a)(p-b)}{ab}}\\ =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.
\end{gather*}