Если \( a \geqslant -1 \), то \( (1 + a)^n \geqslant 1 + na \) для \(\forall n \in \mathbb{N}\).

Доказательство

Используем \(\href{https://examp.info/theorem/method-of-math-induction/}{\text{метод математической индукции}}\). При \( n = 1 \) имеем:
\[
(1 + a)^1 = 1 + 1 \cdot a, \\
1 + a = 1 + a - \text{верно}.
\]

Предположим, что при \( n = k \) неравенство верно, т.е. выполняется следующее неравенство:
\[
(1 + a)^k \geqslant 1+ ka.
\]
Тогда при \( n = k + 1 \), используя индуктивное предположение, имеем:
\[
(1 + a)^{k+1} = (1 + a)(1 + a)^k \geqslant (1 + a)(1 + ka) = 1 + (k + 1)a + ka^2 \geqslant 1 + (k + 1)a.
\]
Неравенство доказано.