Если для знакочередующегося ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n\) выполняются два условия:

1. Последовательность \(\{a_n\}\) монотонно стремится к нулю: \(\displaystyle\lim_{{n \to \infty}} a_n = 0\).

2. Последовательность \(\{a_n\}\) монотонно убывает, т.е. \(a_{n+1} \leqslant a_n\) для всех \(n\).

Тогда ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n\) сходится.

Доказательство

Пусть выполнены оба условия признака Лейбница. Рассмотрим частичные суммы знакочередующегося ряда:
\[S_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \ldots + (-1)^{n-1} a_n.\]

Эти частичные суммы представляют собой альтернирующую последовательность, и мы хотим оценить их близость друг к другу. Для этого рассмотрим разность двух последовательных частичных сумм:
\[
S_{2n} - S_{2n-2} = (-1)^{2n-1} a_{2n} - (-1)^{2n-3} a_{2n-2} = a_{2n} + a_{2n-2}.
\]

Так как последовательность \(\{a_n\}\) монотонно убывает по модулю, то \(a_{2n} \leqslant a_{2n-2}\), и, следовательно, \(S_{2n} - S_{2n-2} \geqslant 0\). Это означает, что частичные суммы при четных \(n\) образуют неубывающую последовательность.

Аналогично, разность последовательных частичных сумм при нечетных \(n\) будет \(S_{2n+1} - S_{2n-1} = -a_{2n} - a_{2n-2}\). Так как \(a_{2n} \leqslant a_{2n-2}\), то \(S_{2n+1} - S_{2n-1} \geqslant 0\), и частичные суммы при нечетных \(n\) также образуют неубывающую последовательность.

Таким образом, частичные суммы ряда образуют ограниченную и неубывающую последовательность. По теореме о монотонной ограниченной последовательности такая последовательность имеет предел. Следовательно, ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n\) сходится.