Пусть \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a; b]\) \( \left(f(x) \in C[a; b]\right) \), \(f(x)\) дифференцируема на интервале \((a;b)\) \(\left( f(x) \in D(a; b) \right)\), \( f(a) = f(b) \). Тогда существует точка \( c \in (a; b) \) такая, что \( f'(c) = 0 \).

Доказательство

Так как функция \( f(x) \) непрерывна на отрезке \([a; b]\), она принимает на этом отрезке наибольшее значение \( M \) и наименьшее значение \( m \) (\(\href{https://examp.info/theorem/o-naibolshem-i-naimenshem-znacheniyah-funkcii-na-otrezke-vejershtrassa/}{\text{по т. Вейерштрасса}}\)).

Если оказалось, что \( m = M \), то это означает, что \( m = f(x) = M \) для всех \( x \in [a; b] \), т.е. функция \( y = f(x) \) \(-\) постоянная на \([a; b]\). Поэтому для всех \( x \in (a; b) \) имеет место равенство \( f'(x) = 0 \). Если же \( m \neq M \), т.е. \( m < M \), то хотя бы одно из этих значений функция принимает во внутренней точке \([a; b]\). Действительно, по условию значения \( f(a) \) и \( f(b) \) равны друг другу и могут оказаться равны не более, чем одному из чисел \( m \), \( M \).

Пусть, например, \( M = f(c) \), где \( c \in (a; b) \). Так как \( M \) \(-\) наибольшее значение функции \( f(x) \) на всем отрезке \([a; b]\), то оно будет наибольшим и для \( x \in U(c) \), т.е. \( c \) \(-\) точка \(\href{https://examp.info/onedef/ekstremum/}{\text{локального экстремума}}\). По условию \(\href{https://examp.info/onedef/differenciruemaya-funkciya/}{\text{дифференцируемости функции}}\) в этой точке существует производная \( f'(c) \). По \(\href{https://examp.info/theorem/lemma-ferma/}{\text{теореме Ферма}}\), \( f'(c) = 0 \), что и требовалось доказать.