|
Теорема Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Доказательство Пусть в треугольнике \(ABC: \quad AB = c, \quad BC = a, \quad AC = b\), \(R\) \(-\) радиус описанной окружности. Докажем, что\[\dfrac{a}{\sin A} =\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}=2R.\] По формуле площади треугольника \[S = \dfrac{1}{2} a b \sin C, \quad S = \dfrac{1}{2} b c \sin A, \quad S = \dfrac{1}{2} c a \sin B.\] Из первых двух равенств получаем \(\dfrac{1}{2} a b \sin C = \dfrac{1}{2} b c \sin A\), откуда \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}\). Аналогично из второго и третьего равенств следует \(\dfrac{a}{\sin A} =\dfrac{b}{\sin B}\). Таким образом, \(\dfrac{a}{\sin A} =\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\). Впишем треугольник в окружность, проведем перпендикуляр из точки \(C\), он пересечет окружность в точке \(A_1\), заметим что \(\angle BAC=\angle BA_1C\), т.к опираются на общую дугу. \(BA_1=2R\)бгде \(R\) радиус описанной окружности, т.к. \(\angle BСA1\) прямой, значит опирается на диаметр. Применим теорему синусов:
|
