Пусть функция \( y = f(x) \) непрерывна на отрезке \([a, b]\). Тогда существуют такие точки \( c, d \), принадлежащие этому отрезку, что \( f(c) = M \), \( f(d) = m \).

Доказательство

Докажем часть утверждения теоремы, относящуюся к точной верхней грани \( M \) множества значений функции \( y = f(x) \) на отрезке \([a, b]\). Остальная часть доказывается аналогично.

Будем вести доказательство теоремы методом «от противного». Пусть для всех точек \( x \) отрезка \([a, b]\) выполняется неравенство \( f(x) < M \). Тогда \( M - f(x) > 0 \) для всех точек \( x \) отрезка \([a, b]\) и функция \( y = \frac{1}{M - f(x)} \) определена и непрерывна на отрезке \([a, b]\). По теореме об ограниченности непрерывной функции она ограничена на отрезке \([a, b]\), следовательно, существует число \( C > 0 \) такое, что для всех точек \( x \) отрезка \([a, b]\) выполняются неравенства \( 0 < \frac{1}{M - f(x)} < C \). Но тогда для всех точек \( x \) из отрезка \([a, b]\) выполняется неравенство \( M - f(x) > \frac{1}{C} \), или \( M - \frac{1}{C} > f(x) \). Это означает, что меньшее, чем \( M \), число \( M - \frac{1}{C} \) является верхней гранью множества значений функции \( y = f(x) \) на отрезке \([a, b]\). Значит, \( M \) \(-\) не точная верхняя грань множества значений функции \( y = f(x) \) на отрезке \([a, b]\). Получаем противоречие, значит, наше допущение неверно, и существует такая точка \(c \in [a, b]\), что \(f(c) = M\).