Любые два интегрирующих множителя связаны соотношением
\[
\mu_{1} = \mu_{0}\varphi(U_{0}),
\]
где \(\varphi\) — непрерывно дифференцируемая и не тождественно равная нулю функция.

Доказательство

Пусть \(U_{1}\) — интеграл, соответствующий \(\mu_{1}\), \(U_{0}\) — интеграл, соответствующий \(\mu_{0}\). Тогда
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\mu_{0}(Pdx + Qdy) = dU_{0} \\
\mu_{1}(Pdx + Qdy) = dU_{1}.
\end{array}
\right.
\]

Так как \(U_{1} = \Phi(U_{0})\), то
\[
\frac{\mu_{1}}{\mu_{0}} = \frac{dU_{1}}{dU_{0}} = \frac{d\Phi(U_{0})}{dU_{0}} = \frac{\Phi(U_{0})^{\prime}dU_{0}}{dU_{0}} = \Phi(U_{0})^{\prime} = \varphi(U_{0}).
\]

Производная \(\Phi^{\prime}(U_{0})\) существует и непрерывна, и \(U_{0}, U_{1}\) имеют непрерывные частные производные, так как являются решениями уравнения.

Теорема доказана.