Расстояние \( h \) от любой точки \( M_0(x_0; y_0; z_0)\) пространства до плоскости равно:
\[ h = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}},\] где \((a;b;c)\) \(-\) координаты вектора нормали \( \vec{n} \) к данной плоскости.

Доказательство

Пусть \(ax + by + cz + d = 0\) \(-\) \(\href{https://examp.info/theorem/uravnenie-ploskosti/}{\text{уравнение данной плоскости}}\), \(a^2 + b^2 + c^2 \neq 0\).
Пусть \( M(x; y; z)\) \(-\) основание перпендикуляра, опущенного из точки \(M_0\) на данную плоскость. Тогда расстояние от точки до плоскости равно длине вектора \(\overrightarrow{MM_0}\): \(h = |\overrightarrow{MM_0}|.\)
Заметим, что вектора \(\vec{n}\) и \(\overrightarrow{MM_0}\) сонаправленные или противоположно направленные, значит косинус угла между ними равен \(\pm 1\). Поэтому их скалярное произведение по модулю равно произведению их длин: \(\left|\left(\vec{n}, \overrightarrow{MM_0}\right)\right| = h \cdot |\vec{n}|\) (см. \(\href{https://examp.info/theorem/svojstva-skalyarnogo-proizvedeniya/}{\text{свойства скалярного произведения}}\)).
Отсюда получаем:
\[ h = \dfrac{\left|\left(\vec{n}, \overrightarrow{MM_0}\right)\right|}{|\vec{n}|} = \dfrac{\left|a(x_0 - x) + b(y_0 - y) + c(z_0 - z)\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} =\]\[ = \dfrac{\left|(ax_0 + by_0 + cz_0 + d) - (ax + by + cz + d)\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.\] \(ax + by + cz + d = 0\), так как точка \(M\) лежит в плоскости. Значит,
\[ h = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}},\] что и требовалось.