Пусть функция \(f(x)\) непрерывна на промежутке \(I\) и имеет производную \(f'(x)\) в каждой точке внутри промежутка \(I\). Тогда:
а) если \(f'(x) > 0\) для каждого \(x\) внутри промежутка \(I\), то функция \(f(x)\) возрастает на промежутке \(I\);
б) если \(f'(x) < 0\) для каждого \(x\) внутри промежутка \(I\), то функция \(f(x)\) убывает на промежутке \(I\);
в) если \(f'(x) = 0\) для каждого \(x\) внутри промежутка \(I\), то функция \(f(x)\) постоянна на промежутке \(I\);

Доказательство

Пусть \(x_1\) и \(x_2\) \(-\) любые точки промежутка \(I\), такие, что \(x_1 < x_2\). Рассмотрим отрезок \([x_1, x_2]\). Так как \([x_1, x_2] \subset I\), то функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([x_1, x_2]\) и внутри его имеет производную. Применяя теорему Лагранжа, получаем, что на интервале \((x_1, x_2)\) найдётся такая точка \(с\), что \[f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1). \quad (1)\]

а) Если \(f'(x) > 0\) для каждого \(x\) внутри промежутка \(I\), то \(f'(с) > 0\), и тогда из равенства \((1)\) следует, что \[f(x_2) > f(x_1).\]
Так как \(x_1\) и \(x_2\) \(-\) любые точки промежутка \(I\), то последнее неравенство означает, что функция \(f\) возрастает на промежутке \(I\).

б) Если \(f'(x) < 0\) для каждого \(x\) внутри промежутка \(I\), то \(f'(с) < 0\), и тогда из равенства \((1)\) следует, что \[f(x_2) < f(x_1).\]
Так как \(x_1\) и \(x_2\) \(-\) любые точки промежутка \(I\), то функция \(f\) убывает на промежутке \(I\).

в) Если же \(f'(x) = 0\) для всех \(x\) из промежутка \(I\), то \(f'(с) = 0\), и тогда из равенства \((1)\) следует, что \[f(x_2) = f(x_1).\]
Так как \(x_1\) и \(x_2\) \(-\) любые точки промежутка \(I\), то это равенство означает, что функция \(f(x) = C\) для всех \(x\) промежутка \(I\), где \(С = f(x_1)\).