Если данный ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного посредством некоторой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и данный ряд.

Доказательство

Пусть ряд \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}u_k\) (1) сходится абсолютно и сумма ряда равна \( S \). Пусть, далее, \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}u_k^*\) (2) - ряд, полученный из ряда (1) посредством некоторой перестановки членов. Требуется доказать, что: во-первых, ряд (1) сходится и имеет сумму, равную \( S \); во-вторых, ряд (2) сходится абсолютно.

Докажем сначала «во-первых».

Достаточно доказать, что для любого \( \varepsilon > 0 \) найдется номер \( N \) такой, что при \( n \geqslant N \) \(\left| \sum\limits_{k=1}^{n}u_k^* - S \right| <\varepsilon\) (3).

Фиксируем произвольное \( \varepsilon > 0 \). Так как ряд (1) сходится абсолютно и имеет сумму, равную \( S \), то для выбранного \( \varepsilon > 0 \) можно указать номер \( N_0 \) такой, что будут справедливы неравенства

\[
\sum_{k=N+1}^{N_0} |u_k| < \frac{\varepsilon}{2} \quad (p - \text{любое натуральное число}) \tag{4}
\]

и

\[
\left|\sum_{k=1}^{N_0} u_k - S\right| < \frac{\varepsilon}{2} \tag{5}
\]

Выберем теперь номер \( N \) столь большим, чтобы любая частичная сумма \( S_n' \) ряда (2) с номером \( n \), превосходящим \( N \), содержала все первые \( N_0 \) членов ряда (1)\(^ {12} \).

Оценим разность, стоящую в левой части (3), и докажем, что при \( n > N \) для этой разности справедливо неравенство (3). В самом деле, указанную разность можно представить в виде

\[
\sum_{k=1}^{n} u_k - S = \left( \sum_{k=1}^{n} u_k - \sum_{k=1}^{N_0} u_k \right) + \left( \sum_{k=1}^{N_0} u_k - S \right) \tag{6}
\]

Так как модуль суммы двух величин не превосходит суммы их модулей, то из (6) получим

\[
\left| \sum_{k=1}^{n} u_k - S \right| < \left| \sum_{k=1}^{n} u_k - \sum_{k=1}^{N_0} u_k \right| + \left| \sum_{k=1}^{N_0} u_k - S \right| \tag{7}
\]

Из неравенств (5) и (7) очевидно, что для доказательства неравенства (3) достаточно доказать, что при \( n > N \) \(|\sum\limits_{k=1}^{n}u_k - \sum_{k=1}^{N_0}u_k | < \frac{\varepsilon}{2}\) (8)

Для доказательства неравенства (8) заметим, что при \( n > N \) первая из сумм, стоящих в его левой части, содержит все \( N_0 \) первых членов ряда (1). Вследствие этого разность \(\sum\limits_{k=1}^{n}u_k - \sum\limits_{k=1}^{N_0}u_k\) (9) представляет собой сумму \( n-N_0 \) членов ряда (1) с номерами, каждый из которых превосходит \( N_0 \).

Если выбрать натуральное \( p \) столь большим, чтобы номер \( N_0 + \) \( +p \) превосходил номера всех \( n-N_0 \) членов только что указанной суммы, то для разности (9) во всяком случае справедливо неравенство

\[
\left| \sum_{k=1}^{n} u_k - \sum_{k=1}^{N_0} u_k \right| < \sum_{k=N_0+1}^{N_0+p} |u_k|.\tag{10}
\]

Из неравенств (10) и (4) вытекает неравенство (8). Тем самым доказано неравенство (3), т. е. доказано, что ряд (2)
сходится и имеет сумму, равную \( S \).

Остается доказать утверждение «во-вторых» о том, что ряд (2) сходится абсолютно. Доказательство этого утверждения следует из первого утверждения, если его применить к рядам \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} |u_k| \quad \text{и} \quad \sum\limits_{k=1}^{\infty} |u_k|\) (11).

При этом мы докажем сходимость второго из рядов (11), т. е.
докажем абсолютную сходимость ряда (2).
Теорема полностью доказана.