|
Теорема Площадь сферы Площадь сферы радиуса \(R\) вычисляется по следующей формуле: Доказательство Пусть \( A_0 A_1 A_2 \ldots A_n \) \(-\) правильная \( n \)-звенная ломаная линия (т. е. длины всех ее звеньев равны), вписанная в данную полуокружность; \( a_n \) \(-\) длина ее апофемы. При вращении полуокружности вокруг ее диаметра \( A_0A_n \) образуется сфера, а при вращении ломаной \( A_0 A_1 A_2 \ldots A_n \) вокруг этого же диаметра \( A_0A_n \) образуется некоторая поверхность \( \Phi \). За \(\textbf{площадь сферы}\), образованной вращением полуокружности вокруг ее диаметра, принимают предел, к которому стремится площадь поверхности \( \Phi \), образованной вращением вокруг того же диаметра правильной \( n \)-звенной ломаной линии, вписанной в полуокружность, при \( n \to +\infty \) (число сторон неограниченно возрастает). Поверхность \( \Phi \) является объединением поверхностей, образованных вращением звеньев ломаной линии, вписанной в полуокружность, вокруг ее диаметра. Этими поверхностями являются боковые поверхности либо конуса (для первого и последнего звеньев ломаной), либо цилиндра (для звеньев, параллельных оси вращения (на рисунке это звено \(A_2A_3\)); их может и не быть), либо усеченного конуса (для всех остальных звеньев ломаной). При вычислении площадей получившихся поверхностей воспользуемся формулами нахождения площадей поверхности \(\href{https://examp.info/theorem/ploshad-bokovoj-poverhnosti-konusa/}{\text{конуса}}\), \(\href{https://examp.info/theorem/ploshad-bokovoj-poverhnosti-usechennogo-konusa/}{\text{усеченного конуса}}\) и \(\href{https://examp.info/theorem/ploshad-bokovoj-poverhnosti-cilindra-kak-tela-vrasheniya/}{\text{цилиндра}}\) как тел вращения. Получим, что площадь \( S_i\ (i = 1, 2, \ldots, n)\) поверхности, образованной вращением любого звена, равна произведению \( 2\pi \), расстояния \( b_i \) от середины звена до центра сферы и длины \( h_i \) проекции этого звена на ось вращения, т. е. \( S_i = 2\pi \cdot b_i \cdot h_i \). Так как ломаная \(-\) правильная, то все \( b_i \) равны апофеме \( a_n \) данной \( n \)-звенной ломаной, а \( h_1 + h_2 + h_3 + \ldots + h_n = 2R \) и Причем \( a_n = \sqrt{R^2 - \left(\dfrac{p_n}{2n}\right)^2} \), где \( p_n \) \(-\) периметр данной ломаной (см. рис.). Поскольку ограниченная переменная величина \( \dfrac{p_n}{2n} \) при \( n \to +\infty \) становится бесконечно малой, то при \( n \to +\infty \) апофема \( a_n \) стремится к радиусу \( R \) полуокружности. Следовательно, предел площади поверхности \( \Phi \) при \( n \to +\infty \) равен \( 4\pi R \cdot R = 4\pi R^2 \). Этот предел и принимается за величину площади сферы радиуса \( R \): \(\textbf{Следствия:}\)
|
