В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство

Рассмотрим два одинаковых квадрата со стороной \(a+b.\) На сторонах первого квадрата отметим по точке так, что каждая из них разбивает сторону на отрезки длиной \(a\) и \(b\), причем разбиение симметрично относительно центра. Соединим отмеченные точки на соседних сторонах отрезками. Внутри квадрата образовались четыре прямоугольных треугольника с катетами \(a\) и \(b\). Значит, они равны исходному прямоугольному треугольнику, поэтому их гипотенузы имеют длину \(c\).

Сумма острых углов прямоугольного треугольника \(\alpha + \beta = 90^{\circ}\), поэтому все углы четырехугольника с вершинами в отмеченных точках прямые. А так как все его стороны равны, то мы имеем дело с квадратом со стороной \(c.\) Таким образом, большой квадрат разбивается на квадрат со стороной \(c\) и четыре прямоугольных треугольника, равных искомому.

На сторонах второго большого квадрата отметим по точке так, что каждая из них разбивает сторону на отрезки длиной \(a\) и \(b\), а в его противоположных углах образуются два квадрата со сторонами \(a\) и \(b\) соответственно. У нас также появляются два прямоугольника, каждый из которых разбивается на два прямоугольных треугольника, равных искомому. Получается, что большой квадрат разбивается на два квадрата со сторонами \(a\) и \(b\) и четыре прямоугольных треугольника, равных искомому.

Площади двух больших квадратов одинаковы. Если из каждого "выкинуть" по четыре прямоугольных треугольника, то останутся фигуры равной площади. В первом случае это квадрат со стороной \(c\), во втором \(-\) два квадрата со сторонами \(a\) и \(b\). Получается, \[c^2 = a^2 + b^2,\] что и требовалось доказать.