Пусть \(a > 0, a \neq 1, b > 0, M > 0, N > 0, \gamma - \text{действительно}\), тогда:

\(0.1)\) \(a^{\log_a b} = b.\)

\(0.2)\) \(\log_a a=1.\)

\(1)\) \(\log_a (M\cdot N) = \log_a M + \log_a N.\)

\(2)\) \(\log_a \left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N.\)

\(3.1)\) \(\log_a M^\gamma = \gamma\log_a M.\)

\(3.2)\) \(\log_{a^{\gamma}}M=\dfrac{1}{\gamma}\log_aM.\)

\(4)\) Пусть также \(b \neq 1\), тогда \(\log_a M = \dfrac{\log_b M}{\log_b a}.\)

\(5)\) \(\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}.\)

\(6)\) \(a^{\log_b M} = M^{\log_b a}.\)

Доказательство

\(0)\): Очевидно из определения логарифма.

\(1), 2), 3.1)\): Представим числа \(M\) и \(N\) следующим образом:
\begin{gather*}
M = a^\alpha, \text{где } \alpha = \log_a M, \ \\
N = a^\beta, \text{где } \beta = \log_a N.
\end{gather*}
Тогда \(M \cdot N = a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha + \beta},\) откуда
\[
\log_a (M \cdot N) = \alpha + \beta = \log_a M + \log_a N,
\]
и мы доказали равенство \(1)\).
Далее, \[\dfrac{M}{N} = \dfrac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha - \beta},\]
откуда \[\log_a \left(\dfrac{M}{N}\right) = \alpha - \beta = \log_a M - \log_a N,\]
и мы доказали равенство \(2)\).
Имеем также \[M^\gamma = (a^\alpha)^\gamma = a^{\alpha \gamma},\]
откуда \[\log_a M^\gamma = \alpha \cdot \gamma = \gamma\log_a M,\]
и мы доказали равенство \(3.1)\).

\(4)\): В силу свойств \(0)\) и \(3)\) имеем
\[\log_b M = \log_b {a^{\log_a M}} = \log_a M \cdot \log_b a.\]
Т.к. \(a \neq 1\), то \(\log_b a \neq 0\). Разделив правую и левую части последнего равенства на \(\log_b a\), получим искомое соотношение \(4)\).

\(5)\): Заменив в равенстве \(4)\) число \(M\) на \(b\) (\(b \neq 1\)) и учитывая, что \(\log_b b = 1\), получим нужное равенство.

\(6)\): Для доказательства воспользуемся свойствами \(0)\) и \(4)\)
\[a^{\log_b M} = M^{\log_M a \cdot \log_b M} = M^{\frac{\log_b a}{\log_b M}\cdot \log_b M} = M^{\log_b a}, \text{при } M \neq 1. \]
При \(M = 1\) равенство, очевидно, выполняется.