Если ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) сходится, то его общий член \(a_n\) стремится к нулю, т.е. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0\).

Доказательство

Пусть ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) сходится и \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n = S\).

Тогда и \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_{n-1} = S\) (при \(n\to\infty\) и \((n-1)\to\infty\)).

Учитывая, что \(a_n = S_n - S_{n-1}\) при \(n > 1\), получаем:

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \displaystyle\lim_{n\to\infty} (S_n - S_{n-1}) = \displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n - \displaystyle\lim_{n\to\infty} S_{n-1} = S - S = 0.\)

Доказали исходное утверждение.

\(\textbf{Замечание.}\) Обратная теорема неверна: если \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0\), то ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) необязательно сходится.

\(\textbf{Пример:}\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) \(-\) ряд, который расходится, но \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0\).