\(\textbf{Свойства \(\href{https://examp.info/onedef/arksinus/}{арксинуса}\) и \(\href{https://examp.info/onedef/arkkosinus/}{арккосинуса}\)}\)
(1) Пусть \(|a|\leqslant 1,\) тогда \(\sin(\arcsin a)=a\) и \(\cos(\arccos a)=a.\)
(2) Пусть \(|a|\leqslant 1,\) тогда \(\arcsin(-a)=-\arcsin a,\) \(\arccos(-a)=\pi-\arccos a.\)
(3) Пусть \(\alpha\in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right],\) тогда \(\arcsin (\sin \alpha)=a.\)
(4) Пусть \(\alpha\in \left[0;\pi\right],\) тогда \(\arccos (\cos \alpha)=a.\)
(5) Пусть \(|a|\leqslant 1,\) \(\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi}{2}.\)

Доказательство

(1)(3)(4) Следуют из определения \(\href{https://examp.info/onedef/arksinus/}{арксинуса}\) и \(\href{https://examp.info/onedef/arkkosinus/}{арккосинуса}.\)

(2) Пусть \(\alpha =\arcsin a,\) тогда \(\alpha\in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\) и \(\sin \alpha =a.\) По свойству синуса \(\sin(-a)=-\sin a,\) тогда \(\sin(-\alpha)=-a.\) Т.к. \(|-a|=|a|\leqslant 1\) и \(-\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right],\) то \(-\alpha=\arcsin(-a).\) Откуда \(\arcsin (-a)=-\arcsin a.\)

Пусть \(\alpha =\arccos a,\) тогда \(\alpha\in \left[0;\pi\right]\) и \(\cos \alpha =a.\) По свойству синуса \(\cos(-a)=\pi-\cos a,\) тогда \(\cos(-\alpha)=\pi-a.\) Т.к. \(|-a|=|a|\leqslant 1\) и \(\pi-\alpha \in \left[0;\pi\right],\) то \(\pi-\alpha=\arccos(-a).\) Откуда \(\arccos (-a)=\pi -\arccos a.\)

(5) Перепишем равенство в виде \(\arcsin a=\frac{\pi}{2}-\arccos a\) и будем его доказывать. Отметим, что из условия \(\arccos a \in \left[0;\pi\right]\) следует, что \(\frac{\pi}{2}-\arccos a \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].\) Тогда достаточно доказать, что \(\sin(\arcsin a)=\sin (\frac{\pi}{2}-\arccos a).\) Из свойств синуса и косинуса имеем \(\sin(\arcsin a)=a\) и \(\sin (\frac{\pi}{2}-\arccos a)=\cos(\arccos a)=a.\) Что и доказывает равенство.