Если на сторонах \(AB\), \(BC\) и \(AC\) (или их продолжениях) взяты соответственно точки \(C_1\), \(A_1\) и \(B_1\), то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
\[\dfrac{\overline{AB_1}}{\overline{B_1C}} \cdot \dfrac{\overline{CA_1}}{\overline{A_1B}} \cdot \dfrac{\overline{BC_1}}{\overline{C_1A}} = 1.\ \quad (1)\]

Доказательство

1) Пусть точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой. Докажем, что выполнено равенство (1).

Проведем прямую \(AD\) параллельно прямой \(B_!A_1\) (точка \(D\) лежит на прямой \(BC\)). Согласно следствию из обобщенной теоремы Фалеса имеем:
\[\dfrac{\overline{AB_1}}{\overline{B_1C}} = \dfrac{\overline{DA_1}}{\overline{A_1C}}, \quad \dfrac{\overline{BC_1}}{\overline{C_1A}} = \dfrac{\overline{BA_1}}{\overline{A_1D}}.\]

Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем:
\[\dfrac{\overline{AB_1}}{\overline{B_1C}} \cdot \dfrac{\overline{BC_1}}{\overline{C_1A}} = \dfrac{\overline{BA_1}}{\overline{A_1D}},\]

Откуда и следует равенство (1).

2) Докажем обратное утверждение. Пусть точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) взяты на прямых \(BC\), \(CA\) и \(AB\) так, что выполнено равенство (1). Докажем, что точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой.

Прямая \(A_1B_1\) пересекает прямую \(AB\) в некоторой точке \(C_2\). Так как точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_2\) лежат на одной прямой, то по доказанному в первом пункте

\[\dfrac{\overline{AB_1}}{\overline{B_1C}} \cdot \dfrac{\overline{CA_1}}{\overline{A_1B}} \cdot \dfrac{\overline{BC_2}}{\overline{C_2A}} = 1.\]

Сопоставляя это равенство с равенством (1), приходим к равенству

\[\dfrac{\overline{BC_1}}{\overline{C_1A}} = \dfrac{\overline{BC_2}}{\overline{C_2A}},\]
из которого, используя соотношения
\[
\dfrac{\overline{BC_1}}{\overline{C_1A}}=\dfrac{\overline{BA}+\overline{AC_1}}{\overline{C_1A}}=\dfrac{\overline{BA}}{\overline{C_1A}}-1 \quad \text{и} \quad
\dfrac{\overline{BC_2}}{\overline{C_2A}}=\dfrac{\overline{BA}+\overline{AC_2}}{\overline{C_2A}}=\dfrac{\overline{BA}}{\overline{C_2A}}-1,
\]
получаем
\[
\dfrac{\overline{BA}}{\overline{C_1A}}=\dfrac{\overline{BA}}{\overline{C_2A}.}
\]

Из этого равенства следует, что \(\overline{C_1A} = \overline{C_2A}\), или \(\overline{C_1A} + \overline{AC_2}=\overline{C_1C_2}=0\), т. е. точки \(C_1\) и \(C_2\) совпадают. Значит, точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой.