Пусть заданы два положительных ряда \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\) и \( \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n\). Если при условии \( \forall n \in \mathbb {N}, \, v_n \neq 0\,\) существует предел \[\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=K,\]
где \( 0 < K < \infty\), то ряды \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\) и \( \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n\) сходятся либо расходятся одновременно.

Доказательство

Из определения предела следует, что \(\forall \epsilon > 0, \, \exists n_0, \, \forall n > n_0\) выполняется неравенство
\(\bigg|\dfrac{u_n}{v_n}-K\bigg|<\epsilon\).

Отсюда, \(K-\epsilon<\dfrac{u_n}{v_n}<K+\epsilon, \quad (K-\epsilon)v_n<u_n<(K+\epsilon)v_n\).
Следовательно сходимость (расходимость) одного ряда, следует из сходимости (расходимости) другого по \(\href{https://examp.info/theorem/priznak-sravneniya-ryadov/}{\text{признаку сравнения}}\).