Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Доказательство

Пусть длины сторон параллелограмма \(ABCD\) равны \(a\) и \(b\). Обозначим величину угла при его вершине \(A\) за \( \alpha \) и запишем теорему косинусов для этого угла в треугольнике \(ABD\): \[ BD^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha \] Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\). Его угол при вершине \(B\) будет равен \(180^{\circ} - \alpha \), поскольку противоположные стороны параллелограмма параллельны. Также заметим, что \( \cos (180^{circ} - \alpha) = - \cos \alpha \). Тогда теорема косинусов для этого треугольника и угла: \[
AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos (180^{\circ} - \alpha) = a^2 + b^2 + 2ab \cos \alpha\] Давайте сложим полученные уравнения. Получим: \[AC^2 + BD^2 = 2a^2 + 2b^2 \] Таким образом мы доказали, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.