Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
(Другими словами это можно сказать так: вписанный угол в два раза меньше центрального угла той дуги, на которую он опирается.)

Доказательство

Первый случай: одна сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

Пусть угол \(ACB\) вписан в окружность, и её центр \(O\) лежит на стороне \(AC\) этого угла. Обозначим величину данного угла буквой \(\alpha\) и проведём радиус \(OB\) окружности. Треугольник \(OBC\) будет равнобедренным, поэтому его угол при вершине \(B\) тоже будет равен \(\alpha\). Центральный угол \(AOB\) \(-\) внешний для треугольника \(OBC\) и должен быть равен сумме его углов при вершинах \(B\) и \(C\), т. е. он равен \(\alpha + \alpha = 2\alpha\). Величину этого угла и считают мерой дуги \(AB\) окружности, поэтому мы напишем рядом с ней на рисунке градусную меру этой дуги \(2\alpha\). Итак, в данном случае вписанный угол \(ACB\) равен половине от градусной меры дуги \(AB\), на которую он опирается.

Второй случай: центр окружности лежит внутри данного вписанного угла \(ACB\).

Проведём через вершину угла \(ACB\) диаметр \(CD\). Он разделит этот угол на два меньших вписанных угла с величинами \(\alpha\) и \(\beta\). Можно сказать, что стороны этого угла образуют с данным диаметром углы \(\alpha\) и \(\beta\). Именно для таких углов доказали теорему в первом случае. Тогда градусные меры их дуг \(AD\) и \(BD\) будут равны \(2\alpha\) и \(2\beta\), а величина всей дуги \(AB\) окружности будет равна их сумме \(2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta)\). Поскольку в этом случае угол \(ACB\) равен \(\alpha + \beta\), то он снова будет равен половине градусной меры дуги \(AB\) окружности, на которую опирается. То есть доказали теорему для второго случая.

Третий случай: центр окружности не лежит внутри вписанного угла \(ACB\).

Как и во втором случае проведём диаметр окружности \(CD\) и обозначим через \(\alpha\) и \(\beta\) углы, которые образуют с ним стороны \(CA\) и \(CB\) нашего вписанного угла. В первой части доказательства уже выяснили, что дуги \(AD\) и \(BD\) должны иметь градусные меры \(2\alpha\) и \(2\beta\). Но в отличие от второго случая, теперь лучи \(CA\) и \(CB\) лежат по одну сторону от диаметра \(CD\), поэтому нужный нам угол \(ACB\) будет равен разности \(\beta - \alpha\) этих углов. И точно так же дуга \(AB\) будет равна разности дуг \(DB\) и \(DA\), т. е. будет иметь градусную меру \(2\beta - 2\alpha = 2(\beta - \alpha)\). Значит, и в третьем случае вписанный угол \(ACB\) будет равен половине градусной меры дуги \(AB\), на которую он опирается.

Таким образом, любые два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу равны.