Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению высоты цилиндра на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра, проведенного из точки оси цилиндра к его образующей.

Доказательство

Пусть цилиндр образован вращением прямоугольника \( ABCD \) вокруг его высоты \( AD \). Воспользуемся известной формулой для площади боковой поверхности цилиндра:
\[ S_{\text{бок}} = 2\pi R H, \]
где \(R\) \(-\) радиус окружности основания, а \(H\) \(-\) его высота.
Тогда
\[ S_{\text{бок}} = 2\pi DC \cdot BC. \]

Если \( EF \) \(-\) серединный перпендикуляр к образующей \( BC \), проведенный из точки \( F \) оси \( l \) цилиндра, то \( EF = CD \). Учитывая, что \( BC = AD \), получаем: \[ S_{\text{бок}} = 2\pi EF \cdot AD, \]то есть \[ S_{\text{бок}} = 2\pi r H. \]