Функции \[y_k(x) = e^{\lambda_k x}, \quad k = 1, \ldots, n. \tag{1}\]
при условии, что все корни \(\href{https://examp.info/onedef/harakteristicheskoe-mnogochlen-i-harakteristicheskoe-uravnenie/}{\text{характеристического многочлена}}\) \(\lambda_k\) — простые, образуют \(\href{https://examp.info/onedef/fundamentalnaya-sistema-reshenij/}{\text{фундаментальную систему решений}}\) однородного дифференциального уравнения порядка \(n\) с постоянными коэффициентами \[Ly \equiv y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \dots + a_n y = 0, \quad a_i = \text{const}, \quad i = 1, \dots, n.\tag{2} \]

Доказательство

Так как функций (1) ровно \(n\) штук и они являются решениями однородного уравнения (2), нам остается лишь показать, что эти функции \(\href{https://examp.info/onedef/linejnaya-zavisimost-i-nezavisimost-funkcij/}{\text{линейно независимы}}\). Допустим, что нашлась нетривиальная линейная комбинация, равная нулю:

\[
C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x} + \ldots + C_n e^{\lambda_nx} = 0.
\]

Допустим, что, по крайней мере:
\[
C_1 \neq 0. \tag{3}
\]

Разделим комбинацию на \(e^{\lambda_nx}\):
\[
C_1e^{(\lambda_1-\lambda_n)x} + C_2e^{(\lambda_2-\lambda_n)x} + \ldots + C_n = 0,
\]

продифференцируем:
\[
(\lambda_1 - \lambda_n) C_1e^{(\lambda_1-\lambda_n)x} + (\lambda_2 - \lambda_n) C_2e^{(\lambda_2-\lambda_n)x} + \ldots + (\lambda_{n-1} - \lambda_n) e^{(\lambda_{n-1}-\lambda_n)x}C_{n-1} = 0.
\]

Повторим процедуру, разделим на \(e^{(\lambda_{n-1}-\lambda_n)x}\):
\[
C_1 (\lambda_1 - \lambda_n) e^{(\lambda_1-\lambda_{n-1})x} + C_2 (\lambda_2 - \lambda_n) e^{(\lambda_2-\lambda_{n-1})x} + \ldots + C_{n-1} (\lambda_{n-1} - \lambda_n) = 0,
\]

продифференцируем:
\[
C_1 (\lambda_1 - \lambda_n) (\lambda_1 - \lambda_{n-1}) e^{(\lambda_1-\lambda_{n-1})x} + \ldots + C_{n-2} (\lambda_{n-1} - \lambda_n) (\lambda_{n-2} - \lambda_{n-1}) e^{(\lambda_{n-2}-\lambda_{n-1})x} = 0.
\]

Повторяя эту процедуру \(n - 1\) раз, придем к выражению:
\[
C_1 (\lambda_1 - \lambda_n) (\lambda_1 - \lambda_{n-1}) \ldots (\lambda_1 - \lambda_2) e^{(\lambda_1-\lambda_2)x} = 0. \tag{4}
\]

По предположению (3), все скобки в выражении (4) не равны нулю и экспонента не равна нулю. Поэтому приходим к противоречию в предположении о существовании нетривиальной комбинации. Теорема доказана.

\(\textbf{Случай кратных корней}\)
Теперь рассмотрим случай, когда, например, корень многочлена \(
M(\lambda) = \lambda^{n} + a_{1}\lambda^{n-1} + \ldots + a_{n} = 0.
\) \(\lambda_k\) имеет кратность \(p > 1\). Тогда различных функций (1) меньше чем \(n\), их совокупность не образует фундаментальную систему решений. В таком случае строятся так называемые присоединенные функции:
\[
e^{\lambda_kx}, \quad xe^{\lambda_kx}, \quad x^2e^{\lambda_kx}, \ldots, x^{p-1}e^{\lambda_kx}. \tag{5}
\]

Функции (5) образуют набор из \(p\) функций. Прямой подстановкой можно доказать, что эти функции являются решениями однородного уравнения (2), и можно доказать, что эти функции являются линейно независимыми (5). Совокупность функций (1) и (5) в таком случае образует фундаментальную систему решений. Очевидно, что корней с кратностью больше единицы может быть несколько. В таком случае для каждого кратного \(\lambda_k\) строится аналогичный набор функций (5).