Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Доказательство

Построим \(\triangle ABC,\) где \(BD\) \(-\) биссектриса угла \(ABC\).
Требуется доказать: \(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\).
Проведем \(CE \parallel BD\) до пересечения с продолжением стороны \(AB\). Стороны угла \(EAC\) пересечены параллельными прямыми. Составим пропорцию: \(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BE}\). Сравнивая эту пропорцию с той, которую нужно доказать, замечаем, что они отличаются только отрезками \(BE\) и \(BC\). Рассмотрим эти отрезки. Они входят в \(\triangle CBE\), в котором \(\angle E =\angle \gamma\ \) (как соответственные при \(EC\parallel BD\) и секущей \(AE\)) и \(\angle \alpha =\angle \beta \) (как накрест лежащие при тех же параллельных прямых и секущей \(BC\)). Но \(\angle \gamma =\angle \beta \) (\(BD\) \(-\) биссектриса), отсюда \(\angle E=\angle \alpha\). Следовательно, \(BE=BC\). Заменим в полученной пропорции \(BE\) на \(BC\):\( \frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\), что и требовалось доказать.