Квадрат площади каждой грани тетраэдра равен сумме квадратов площадей трех остальных граней без удвоенных попарных произведений площадей этих граней на косинусы двугранных углов между этими плоскостями, т. е.
\[S_0^2 = S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 - 2S_1S_2\cos \alpha_{12} - 2S_1S_3 \cos \alpha_{13} - 2S_2S_3 \cos \alpha_{23},\]
где \(S_i, i = 0, 1, 2, 3\) \(-\) грань тетраэдра, \(\alpha_{ij}\) \(-\) величина двугранного угла между \(S_i\) и \(S_j\).

Доказательство

Спроектируем ортогонально грани \(S_1, S_2, S_3\) на \(S_0\)
\[S_0 = S_1 \cos \alpha_{01} + S_2 \cos \alpha_{02} + S_3 \cos \alpha_{03}.\]
Далее проделаем то же самое для остальных граней
\[
\begin{gather*}
S_1 = S_0 \cos \alpha_{01} + S_2 \cos \alpha_{12} + S_3 \cos \alpha_{13}, \ \\
S_2 = S_0 \cos \alpha_{02} + S_1 \cos \alpha_{12} + S_3 \cos \alpha_{23}, \ \\
S_3 = S_0 \cos \alpha_{03} + S_1 \cos \alpha_{13} + S_2 \cos \alpha_{23}.
\end{gather*}
\]
Умножим первое из этих равенств на \(S_0\), второе, третье и четвёртое соответственно на \(-S_1, -S_2, -S_3\) и сложим
\[S_0^2 - S_1^2 - S_2^2 - S_3^2 = - 2S_1S_2\cos \alpha_{12} - 2S_1S_3 \cos \alpha_{13} - 2S_2S_3 \cos \alpha_{23}.\]
Откуда получаем нужное равенство.