1) Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\), то\[\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}, \\
x_1x_2=\dfrac{c}{a}.
\end{array}\right.\]

2) Если \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) — корни кубического уравнения \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), то\[\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}, \\
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{c}{a}\\
x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}.
\end{array}\right.\]

Доказательство

1) Доказательство проведём, используя выражение корней уравнения через дискриминант. Докажем утверждение для суммы корней:\[x_1+x_2=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} + \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}.\]
Аналогично для произведения корней:\[x_1x_2=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} \cdot \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{b^2-D}{4a^2}=\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}.\]

2) Докажем для случая трёх корней: \[ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).\] Раскроем скобки в равенстве и приведем подобные слагаемые:\[
ax^3+bx^2+cx+d=ax^3 -a(x_1 + x_2 + x_3)x^2+a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x-ax_1x_2x_3.
\]
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \(x\), получаем требуемое утверждение.

Также имеет место и обратное утверждение, доказываемое прямой подстановкой.
\(\textit{Обратная теорема Виета.}\) Если числа \(x_1\) и \(x_2\) таковы, что удовлетворяют соотношениям\[\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \\
x_1x_2=\dfrac{c}{a}
\end{array}\right.\]для некоторых \(a,b\) и \(c\), то они являются корнями квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\).