Площадь \(\href{https://examp.info/onedef/ploshad-krivolinejnoj-trapecii/}{\text{криволинейной трапеции}}\) можно вычислить с помощью определённого интеграла.

Доказательство

1. \(\textbf{Разбиение отрезка:}\)
Разобьём отрезок \([a, b]\) на \( n \) частей точками:
\[
a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b
\]
Длина каждого частичного отрезка: \(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\).

2. \(\textbf{Построение интегральной суммы:}\)
На каждом отрезке \([x_{i-1}, x_i]\) выберем точку \(\xi_i\) и построим прямоугольник высотой \(f(\xi_i)\) и шириной \(\Delta x_i\). Его площадь:
\[
f(\xi_i)\Delta x_i
\]

3. \(\textbf{Предельный переход:}\)
Сумма площадей всех прямоугольников:
\[
S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i
\]
При \(n \to \infty\) и \(\max \Delta x_i \to 0\) эта сумма стремится к интегралу:
\[
S = \lim\limits_{\max \Delta x_i \to 0} S_n = \int\limits_a^b f(x)\,dx
\]

4. \(\textbf{Геометрический смысл:}\)
Так как \(f(x)\) непрерывна и неотрицательна, этот интеграл даёт точное значение площади.