Ограничение по размерам: Если матрица \(A\) имеет размер \(m \times n\), то:
\[ \operatorname{rang}(A) \le \min(m, n) \]

Ранг подматрицы:Если из матрицы \(A\) выделить любую подматрицу \(B\), то:
\[ \operatorname{rang}(B) \le \operatorname{rang}(A) \]

Нулевая матрица:
\[ \operatorname{rang}(A) = 0 \iff A = 0 \]

Свойства транспонирования и умножения на число:

\(1)\)Транспонирование:
\[ \operatorname{rang}(A^T) = \operatorname{rang}(A) \]

\(2)\)Умножение на число: Для любого \(\lambda \neq 0\):
\[ \operatorname{rang}(\lambda A) = \operatorname{rang}(A) \]

Ранг при сложении и умножении матриц:

\(1)\)Ранг суммы:
\[ \operatorname{rang}(A + B) \le \operatorname{rang}(A) + \operatorname{rang}(B) \]

\(2)\)Ранг произведения:
\[ \operatorname{rang}(AB) \le \min(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rang}(B)) \]

\(3)\)Произведение на невырожденную матрицу: Если \(C\) - квадратная невырожденная матрица (\(\det(C) \neq 0\)), то:
\[ \operatorname{rang}(AC) = \operatorname{rang}(A) \]

Доказательство

без доказательства