Пусть для функций \(f:E\rightarrow \mathbb{R}\) и \(g:E\rightarrow \mathbb{R}\)\[\exists \underset {x\to x_{0}} {\lim} f(x)=A,\ \exists \underset {x \to x_{0}} {\lim} g(x)=B.\]Тогда

1) \(\exists \underset {x \to x_{0}} {\lim}(f(x) \pm g(x))=A \pm B\);
2) \(\exists \underset {x \to x_{0}} {\lim}(f(x) \cdot g(x))=A \cdot B\);
3) \(\exists \underset {x \to x_{0}} {\lim} \dfrac{f(x)}{g(x)}= \dfrac{A}{B}\), если \(B\ne0\) и \(g(x)\ne0\) при \(x\in E\).

Доказательство

Так как \(\exists \underset {x \to x_{0}} {\lim}f(x)=A\), то \(f(x)=A+\alpha(x)\), где \(\alpha(x)\) \(-\) бесконечно малая функция при \(x\rightarrow{x_0}\). Аналогично, \(g(x)=B+\beta(x)\) при \(x\rightarrow{x_0}\).

1) Тогда\[f(x)\pm g(x)=(A+\alpha(x)) \pm (B+\beta(x))=(A\pm B)+(\alpha(x)\pm\beta(x)).\]Обозначим \(\alpha(x)\pm\beta(x)=\gamma(x)\) \(-\) это тоже бесконечно малая функция при \(x \to x_{0}\). Отсюда \(f(x)\pm g(x)=(A\pm B) +\gamma (x),\) что и означает\(\underset {x \to x_{0}} {\lim}(f(x) \pm g(x))=A \pm B\).

2) Тогда\[f(x)\cdot g(x)=(A+\alpha(x))\cdot (B+\beta(x))=A\cdot B+B\cdot \alpha(x)+A\cdot \beta(x)+\alpha(x)\cdot \beta(x),\]где \(B\cdot \alpha(x)\) и \(A\cdot \beta(x)\) \(-\) произведения констант на БМФ, то есть являются БМФ, а \(\alpha(x)\cdot \beta(x)\) \(-\) произведение двух БМФ, то есть тоже БМФ (при \(x \to x_{0}\)). Значит, слагаемое \(B\cdot \alpha(x)+A\cdot \beta(x)+\alpha(x)\cdot \beta(x)\) является БМФ. Это означает, что \(\underset {x \to x_{0}} {\lim}(f(x) \cdot g(x))=A \cdot B\).

3) Рассмотрим \(\dfrac{f(x)}{g(x)}-\dfrac{A}{B}\):
\[\dfrac{f(x)}{g(x)}-\dfrac{A}{B}=\dfrac{f(x)\cdot B-g(x)\cdot A}{g(x)\cdot B}=\]\[=\dfrac{(A+\alpha(x))\cdot B-(B+\beta(x))\cdot A}{g(x)\cdot B}=\dfrac{A\cdot B +\alpha(x)\cdot B-A\cdot B-\beta(x)\cdot A}{g(x)\cdot B}=\]\[=\dfrac{\alpha(x)\cdot B-\beta(x)\cdot A}{g(x)\cdot B}.\]Ранее мы доказали лемму о том, что если функция имеет предел, не равный \(0\), то обратная к ней функция \(-\) ЛОФ. В нашем случае, у \(g(x)\) \(\exists \underset {x \to x_{0}} {\lim}g(x)=B\), и по по условию \(B\ne 0\). Значит, \(\dfrac{1}{g(x)}\) \(-\) ЛОФ.

Тогда \(\omega(x)=\dfrac{\alpha(x)\cdot B-\beta(x)\cdot A}{g(x)\cdot B}=\dfrac{\alpha(x)\cdot B-\beta(x)\cdot A}{ B}\cdot \dfrac{1}{g(x)}\) \(-\) БМФ. Имеем \[\dfrac{f(x)}{g(x)}-\dfrac{A}{B}=\omega(x),\text{ значит }\exists \underset {x \to x_{0}} {\lim} \dfrac{f(x)}{g(x)}= \dfrac{A}{B}.\]