\(\textbf{Свойства } \href{https://examp.info/onedef/skalyarnoe-proizvedenie/}{\textbf{скалярного произведения}}\)
(1) \((\overrightarrow a, \overrightarrow a)=|\overrightarrow a|^2,\)
(2) если вектoра \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) перпендикулярны, то \((\overrightarrow a, \overrightarrow b)=0,\)
(3) \((\overrightarrow a, \overrightarrow b)=(\overrightarrow b, \overrightarrow a)\) (коммутативность),
(4) \((\overrightarrow a, \overrightarrow b+\overrightarrow c)=(\overrightarrow a, \overrightarrow b)+(\overrightarrow a, \overrightarrow c)\) (распределительный закон, дистрибутивность относительно сложения),
(5) \((\alpha \overrightarrow a, \overrightarrow b)=\alpha(\overrightarrow a, \overrightarrow b),\) \(\alpha\) - вещественное число,
(6) \(|(\overrightarrow a, \overrightarrow b)|\leqslant |\overrightarrow a||\overrightarrow b|,\)
(7) \((\overrightarrow a, \overrightarrow b)=x_1x_2+y_1y_2\) (\(\href{https://examp.info/theorem/koordinatnaya-forma-zapisi-skalyarnogo-proizvedeniya/}{\text{координатная форма записи}}\)),
(8) \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos \phi\) (\(\href{https://examp.info/theorem/cosinusov/}{\text{теорема косинусов}}\)).

\(\textbf{Замечание}\) Свойства (3)-(5) говорят, что скалярное произведение является линейной функцией относительно первого и второго аргументов.

Доказательство

(1) \(\phi=0 \Rightarrow\cos\phi=1.\)\[
(\overrightarrow a, \overrightarrow a)=|\overrightarrow a| \cdot |\overrightarrow a|\cdot 1=|\overrightarrow a|^2.\]
(2) Достачно заметить, что \(\cos \frac{\pi}{2}=0.\)
(3) \(\angle \overrightarrow a, \overrightarrow b=\phi,\) \(\angle \overrightarrow b, \overrightarrow a=2\pi-\phi.\) \[
(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|\cos\phi=|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b| \cos (2\pi-\phi)=(\overrightarrow b, \overrightarrow a).
\](4) Введем декартову систему координат (рис. 1). В этой системе коорднит вектора \(\overrightarrow a,\overrightarrow b, \overrightarrow c\) имеют координаты \((|\overrightarrow a|;0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)\) соответственно. Пусть \(\overrightarrow m\) некоторый вектор с координатами \((x,y)\) в нашей системе коодинат. Тогда \(x=|\overrightarrow m|\cos \alpha,\) где \(\alpha\) - угол между \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow m,\) т.е.\[
(\overrightarrow a, \overrightarrow m)=|\overrightarrow a|\cdot|\overrightarrow m|\cos\alpha=|\overrightarrow a|\cdot x.\]
Следовательно,\[
(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=|\overrightarrow a|\cdot x_1, \quad (\overrightarrow a, \overrightarrow c)=|\overrightarrow a|\cdot x_2.
\]Осталось заметить, что абцисса ветора \(\overrightarrow b + \overrightarrow c\) равна \(x_1+x_2.\) Получаем\[
(\overrightarrow a, \overrightarrow b+\overrightarrow c)=|\overrightarrow a|\cdot (x_1+x_2)=(\overrightarrow a, \overrightarrow b)+(\overrightarrow a, \overrightarrow c).
\](5) Если \(\alpha\geqslant 0,\) то утверждение тривиально, т.к. угол между векторами \(\overrightarrow a, \overrightarrow b\) равен углу между векторами \(\alpha\overrightarrow a, \overrightarrow b.\) Если \(\alpha<0,\) то достаточно заметить, что угол между векотрами \(\overrightarrow a, \overrightarrow b\) равен \(\pi\) минус угол между \(\alpha \overrightarrow a, \overrightarrow b\) (т.е. косинус угла поменяет знак). А длина вектора при домножении на число \(\alpha\) увеличивается в \(|\alpha|\) раз.
(6) \(|\cos \phi|\leqslant 1.\)\[
|(\overrightarrow a, \overrightarrow b)|=|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b||\cos\phi|\leqslant |\overrightarrow a|\cdot|\overrightarrow b|.
\]