Если функция \(f(x)\) имеет предел при \( x \to a \) равный \( A \), и в некоторой проколотой окрестности \( \dot{U}(a) \) точки \( a \) принимает неотрицательные значения, то \( A \geqslant 0 \).

Доказательство

Будем доказывать методом от противного. Допустим, что \( A < 0 \). Возьмем \( \varepsilon = \frac{|A|}{2} \). Тогда существует \( \delta > 0 \) такое, что для всех \( x \), удовлетворяющих \( 0 < |x - a| < \delta \), выполняется неравенство \( |f(x) - A| < \frac{|A|}{2} \), откуда \( f(x) < A - \frac{A}{2} = \frac{A}{2} < 0 \).

Получаем, что для любого \( x \) из пересечения проколотых окрестностей \( \dot{U}(a) \) и \( \dot{U}_{\delta}(a) \) одновременно выполняются неравенства \( f(x) < 0 \) и \( f(x) \geqslant 0 \). Тем самым мы пришли к противоречию. Теорема доказана.