\[e^{{z_1}+{z_2}} = e^{z_1}e^{z_2}\]

Доказательство

\(\text{Воспользуемся формулой Эйлера}\) \(e^{x+iy} = e^{x}(\cos y+i\sin y)\):
\[e^{z_1 + z_2} = e^{(x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2)} = e^{(x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)} =\]
\[= e^{x_1 + x_2} \left( \cos(y_1 + y_2) + i\sin(y_1 + y_2) \right) =\]
\[= e^{x_1 + x_2} \left( \cos y_1 \cos y_2 - \sin y_1 \sin y_2 + i(\sin y_1 \cos y_2 + \cos y_1 \sin y_2) \right) =\]
\[= e^{x_1} e^{x_2} \left( \cos y_1 + i\sin y_1 \right) \left( \cos y_2 + i\sin y_2 \right) =\]
\[= e^{x_1} \left( \cos y_1 + i\sin y_1 \right) \cdot e^{x_2} \left( \cos y_2 + i\sin y_2 \right) =\]
\[= e^{z_1} \cdot e^{z_2}\]

\[\text{Что и требовалось доказать}.\]