Пусть функция \(f(x)\) положительна, монотонно убывает при \(x\geqslant 1\) и для всех \(n \in \mathbb {N}\) имеет место равенство \(f(n)=|a_n|\). Тогда числовой ряд \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) сходится абсолютно или расходится одновременно с интегралом \(\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)\,dx, \quad a\geqslant 1.\)

Доказательство

Интеграл \(\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)\,dx\) сходится, если существует предел \(\displaystyle\lim_{b \to +\infty}\int\limits_a^{b}f(x)\,dx.\)
Рассмотрим произвольное \(n \in\mathbb {N}, \quad x \in [n;n+1]:\)
\[|a_{n+1}| \leqslant f(x) \leqslant |a_n|,\]
\[\int\limits_n^{n+1} |a_{n+1}|\,dx \leqslant \int\limits_n^{n+1} f(x)\,dx \leqslant \int\limits_n^{n+1} |a_n|\,dx,\]
\[\quad |a_{n+1}|\leqslant \int\limits_n^{n+1}f(x)\,dx \leqslant |a_n|.\]
Просуммируем неравенства для всех \(n=\overline{1,k}\):
\[\sum\limits_{n=1}^{k+1} |a_n|-|a_1|=\sum\limits_{n=2}^{k+1} |a_n| \leqslant \int\limits_1^{k+1}f(x)\,dx \leqslant \sum\limits_{n=1}^k |a_n|.\]
Пусть ряд \(\href{https://examp.info/onedef/absolyutnaya-i-uslovnaya-shodimost-ryada/}{\text{сходится абсолютно.}}\), тогда \[\lim_{k \to +\infty}\sum\limits_{n=1}^k |a_n| = \sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|=S \neq \infty.\]
Значит, при \(b \to \infty, a \geqslant 1\):
\[\int\limits_a^b f(x)\,dx \leqslant S, \]
т.е. интеграл тоже сходится.

Пусть интеграл сходится, т.е. \(F(b)=\displaystyle\int\limits_1^b f(x) \, dx, \,\forall b \geqslant 1 -\) возрастающая функция, ограниченная сверху. Тогда
\[\int\limits_1^b f(x)\,dx \leqslant M. \]
Из полученного неравенства:
\[\sum\limits_{n=1}^{k+1} |a_n|-|a_1|\leqslant \int\limits_1^{k+1} f(x)\,dx \leqslant M, \quad \sum\limits_{n=1}^{k+1} |a_n|\leqslant M + |a_1|,\]
значит \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{k+1} |a_n|\) возрастает, ограничена сверху, следовательно ряд \(\href{https://examp.info/onedef/absolyutnaya-i-uslovnaya-shodimost-ryada/}{\text{сходится абсолютно.}}\)