Если \(\forall n \quad a_n \leqslant b_n \) и \(\sum\limits_{n=1}^\infty{b_n}\) \(-\) сходится, то \(\sum\limits_{n=1}^\infty{a_n}\) \(-\) сходится.

Доказательство

По \(\href{https://examp.info/theorem/kriterij-koshi-shodimosti-ryadov/}{\text{Критерию Коши}}\):

\(\sum\limits_{n=1}^\infty{b_n}\) \(-\) сходится \(\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \quad \exists n_0 \quad \forall n_1, n_2 \geqslant n_0 \quad |b_{n_1} + \ldots + b_{n_2}| < \varepsilon.\)

\[|a_{n_1}+\ldots+a_{n_2}| < a_{n_1}+\ldots+a_{n_2} < b_{n_1} + \ldots + b_{n_2} < \varepsilon.\]

Следовательно, по Критерию Коши \(\sum\limits_{n=1}^\infty{a_n}\) \(-\) сходится.

\(\textbf{Замечание.}\)

1) Если \(a_n \leqslant b_n \text{, лишь для }\forall n > n_0 \), то признак сохраняется.

2) Если \(\forall n \quad a_n \leqslant b_n \) и \(\sum\limits_{n=1}^\infty{a_n}\) \(-\) расходится, то \(\sum\limits_{n=1}^\infty{b_n}\) \(-\) расходится.