Рассмотрим многочлен \(P_n(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n=\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i\).

Хотим разложить многочлен \(P_n(x)\) по степеням \((x-a)\):

\(P_n(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+...+a_nx^n=b_0(x-a)^0+b_1(x-a)^1+b_2(x-a)^2+...+b_n(x-a)^n\), иначе \(P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^n b_i(x-a)^i\).

Наша задача \(-\) найти коэффициенты \(b_0,b_1,b_2,...,b_n=b_i\).

Найдем общий алгоритм.

Очевидно, при подстановке \(a\) вместо переменной \(x\) в многочлен \(P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^n b_i(x-a)^i\) получим \(P_n(a)=b_0\).

Продифференцируем \(P_n(x)=b_0(x-a)^0+b_1(x-a)^1+b_2(x-a)^2+b_3(x-a)^3+...+b_n(x-a)^n\) по \(x\):

\(P_n'(x)=1\cdot b_1+2\cdot b_2(x-a)^1+3\cdot b_3(x-a)^2+...+n\cdot b_n(x-a)^{(n-1)}\).

При подстановке вместо \(x\) числа \(a\) получим: \(P_n'(a)=b_1\).

Найдем вторую производную многочлена \(P_n(x)\) по \(x\):

\(P''_n (x)=1\cdot 2\cdot b_2+2\cdot 3\cdot b_3(x-a)+...+(n-1)\cdot n\cdot b_n(x-a)^{n-2}\).

Снова вместо \(x\) подставим \(a\), при этом \((x-a)=0\):

\(P''_n (a)=1\cdot 2\cdot b_2\) \(\longrightarrow\) \(b_2=\dfrac{P''_n (a)}{1\cdot 2}\).

Продифференцируем \(P''_n (x)\) еще раз по \(x\):

\(P'''_n (x)=1\cdot 2\cdot 3\cdot b_3+...+(n-2)\cdot (n-1)\cdot n\cdot b_n(x-a)^{n-3}\).

\(x\) заменяем на \(a\):

\(P'''_n (a)=1\cdot 2\cdot 3\cdot b_3\) \(\longrightarrow\) \(b_3=\dfrac{P'''_n (a)}{1\cdot 2\cdot 3}\).

Замечаем общую закономерность: \(b_n=\dfrac{P^{(n)}_n (a)}{n!}\) (\(n\ne0\)).

Зная, как выражается \(b_i\) через производную многочлена \(P_n(a)\), подставим в исходное выражение:

\(P_n(x)=P_n(a)+P_n'(a)(x-a)+\dfrac{P''_n (a)}{1\cdot 2}(x-a)^2+\dfrac{P'''_n (a)}{1\cdot 2\cdot 3}(x-a)^3+...+\dfrac{P^{(n)}_n (a)}{n!}(x-a)^n=\) - такой вид имеет \(\textit{многочлен Тейлора для функции}\).

В более коротком виде её можно записать так:

\(P_n(x)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^n \dfrac{P^{(i)}_n(a)}{i!}(x-a)^i\).

Доказательство

\(\textbf{Пример:}\) Применим формулу Тейлора для многочлена \(P_3(x)=1+3x+7x^2-5x^3\), в точке \(a=4\):

\(P_3(4)=1+3\cdot 4+7\cdot 4^2-5\cdot 4^3=-195\)

\(P'_3(x)=3+7\cdot 2\cdot x-5\cdot 3\cdot x^2\), \(P'_3(4)=3+7\cdot 2\cdot 4-5\cdot 3\cdot 4^2=-181\)

\(P''_3(x)=7\cdot 2-5\cdot 3\cdot 2 \cdot x\), \(P''_3(4)=7\cdot 2-5\cdot 3\cdot 2\cdot 4=-106\)

\(P'''_3(x)=P'''_3(4)=-5\cdot 3\cdot 2=-30\)

Итак, \(b_0=-195\), \(b_1=\dfrac{-181}{1!}=-181\), \(b_2=\dfrac{-106}{2!}=-53\), \(b_3=\dfrac{-30}{3!}=-5\).

Запишем разложение многочлена по степеням \((x-4)\):

\(P_3(x)=-195-181(x-4)-53(x-4)^2-5(x-4)^3\).

Формула Тейлора полезна для того, чтобы показать, как ведет себя функция в окрестности какой-то точки.