Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту
\[ V = \frac{1}{3}Sh. \]

Доказательство

1. \(\textbf{Случай треугольной пирамиды.}\)

Рассмотрим треугольную пирамиду \(ABCD\).

Пусть площадь основания \(ABC\) равна \(S\), а высота, опущенная на это основание, равна \(h\).

На рёбрах пирамиды отметим середины и соединим их, как показано на рисунке. Получим точки \(M, K, L, P, Q, N\).

2. \(\textbf{Разбиение пирамиды.}\)

При таком соединении середин рёбер пирамида разбивается на 4 многогранника:

а) Треугольная пирамида \(KMLD\)

б) Треугольная пирамида \(CPQK\)

в) Четырёхугольная призма \(QNBKML\)

г) Четырёхугольная призма \(PQKANM\)

3. \(\textbf{Объёмы частей.}\)

Обозначим объём всей пирамиды \(ABCD\) через \(V\).

Пирамиды \(KMLD\) и \(CPQK\) подобны исходной пирамиде \(ABCD\) с \(\href{https://examp.info/theorem/ob-otnosheniyah-obemov-piramid/}{\text{коэффициентом подобия}}\) \(1/2\). Объём подобной пирамиды относится к объёму исходной как куб коэффициента подобия:
\[
\frac{V_{\text{малой}}}{V} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}
\]
Значит, каждая из этих пирамид имеет объём \(\frac{V}{8}\).

Каждая из призм \(QNBKML\) и \(PQKANM\) имеет:

Площадь основания, равную \(\frac{S}{4}\) (четверть площади \(ABC\))

Высоту, равную \(\frac{h}{2}\) (половина высоты пирамиды)

Объём призмы = площадь основания \(\times\) высота = \(\frac{S}{4} \times \frac{h}{2} = \frac{Sh}{8}\).

4. \(\textbf{Составление уравнения.}\)

Объём всей пирамиды равен сумме объёмов её частей:
\[
V = \frac{V}{8} + \frac{V}{8} + \frac{Sh}{8} + \frac{Sh}{8}
\]
\[
V = \frac{V}{4} + \frac{Sh}{4}
\]

5. \(\textbf{Решение уравнения.}\)

\[
V - \frac{V}{4} = \frac{Sh}{4}
\]
\[
\frac{3V}{4} = \frac{Sh}{4}
\]
\[
3V = Sh
\]
\[
V = \frac{1}{3} Sh
\]

6. \(\textbf{Обобщение на любую пирамиду.}\)

Любую \(n\)-угольную пирамиду можно разбить на \((n-2)\) треугольные пирамиды с общей вершиной (триангуляция основания). Все они имеют ту же высоту \(h\), что и исходная пирамида.

Суммируя их объёмы:

\[
V = \sum_{i=1}^{n-2} \frac{1}{3} S_i h = \frac{1}{3} h \sum_{i=1}^{n-2} S_i = \frac{1}{3} S h,
\]
где \(S = \sum S_i\) — площадь основания исходной пирамиды.

\(\textbf{Теорема доказана.}\)