Длину дуги гладкой кривой можно вычислить, используя определённый интеграл. Вид интеграла зависит от способа задания кривой.

Доказательство

\(\textbf{Длина дуги в прямоугольных координатах}\)
Длина дуги \(s\) гладкой кривой \(у = f(x)\), содержащейся между двумя точками с абсциссами \(x = a\) и \( x = b \) равна:
\[
s = \int\limits_a^b \sqrt{1 + {y'}^2} \, dx.
\]
Пример: \(\href{https://examp.info/task/1747/}{\text{№1668.}}\)

\(\textbf{Длина дуги, заданной параметрически}\)
Если кривая задана уравнениями в параметрической форме \( x = \varphi(t) \) и \( y = \psi(t) \) (\( \varphi(t) \) и \( \psi(t) \) — непрерывно дифференцируемые функции), то длина дуги кривой равна:
\[s = \int\limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{{x'}^2 + {y'}^2} \, dt.\]
Пример: \(\href{https://examp.info/task/1746/}{\text{№1677.}}\)

\(\textbf{Длина дуги в полярных координатах}\)
Если гладкая кривая задана уравнением \(r = f(\varphi)\) в полярных координатах \(r\) и \(\varphi\), то длина дуги s равна:
\[
s = \int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + r'^2} \, d \varphi.
\]