Если композицией трех гомотетии является тождественное преобразование плоскости, то их центры лежат на одной прямой или совпадают.

Доказательство

Разберем теорему в следующей формулировке «На плоскости даны три круга различных радиусов, ни один не содержит другой. К каждой паре кругов провели две внешние касательные и отметили их точки пересечения. Докажите, что три отмеченные точки лежат на одной прямой.»

У пары кругов вершиной назовем точку пересечения их внешних касательных. Вершина есть и у пары шаров (точка, через которую проходят все внешние касательные плоскости к этим шарам). Если провести любую плоскость через центры шаров, то в сечении образуются два круга. Их вершина совпадет с вершиной шаров. На пару шаров как бы надели "колпак" (конус). Если докажем для этого случая, то докажем и для кругов. (можем на каждом круге достроить шар с теми же радиусом и центром)

Положим, что центры шаров не лежат на одной прямой (иначе утверждение очевидно). Положим на три шара плоскость. Она будет касаться каждого из трех шаров, значит и содержит все три вершины. Через три центра шаров можно провести плоскость и относительно нее отобразить построенную касательную плоскость. Тогда она так же касается каждого из трех шаров и содержит все три вершины. Следовательно они (вершины) лежат одновременно в двух касательных плоскостях, значит - на их пересечении. Две плоскости пересекаются по прямой или совпадают. В нашем случае - первое.
Получили, что три вершины лежат на одной прямой.

Заметим, что есть ситуация, при которой мы не можем на три шара положить плоскость (два больших и между ними один маленький). Если одновременно уменьшить радиусы в \(n\) раз, оставив центры на месте, то положение вершин не изменится. Тогда уменьшим все радиусы, чтобы они стали настолько маленькими, что каждый колпак не будет пересекать оставшегося шара. Тогда шары снова можно положить на плоскость, и, следовательно, три вершины лежат на прямой.